Народився у Запоріжжі, де з чотирьох років почав займатися футболом у ДЮСШ "Металург" (Запоріжжя). Тренувався і грав із командою хлопців на два роки старших під керівництвом першого тренера - Андрія Максименка.

Перейшов до "Динамо" у віці 13-ти років, де його тренерами були Валерій Ніколаєнко та Олександр Радченко.

У ДЮФЛ виступав за запорізький "Металург" та київське "Динамо".

Спочатку дебютував за "Динамо" U21, сталося це 27-го квітня 2019-го року у матчі "Арсенал-Київ" - "Динамо"(1:3), коли Володимир вийшов на заміну наприкінці поєдинку та зіграв 8 хвилин.

Наступного сезону Бражко теж виступав лише за молодіжний склад і лише 11 вересня 2020-го року дебютував у юнацькій команді "Динамо", взявши участь у домашній перемозі над чернігівською "Десною" 2:0.

Залучався до матчів за юнацькі збірні України U15, U16, U17 та U18, а у складі молодіжної збірної (U21) став учасником двох фінальних турнірів чемпіонату Європи, в 2023-му діставшись із «жовто-синіми» півфіналу.

У сезоні 2021/22 добре проявив себе у Юнацькій Лізі УЄФА (7 матчів, всі у старті, 3 голи), взявши участь у перемогах над «Баварією» та «Барселоною».

Сезон 2022/23 провів у оренді в луганській «Зорі», де одразу став гравцем основного складу та був одним із ключових гравців протягом усього сезону. В УПЛ взяв участь у 29 матчах (23 у стартовому складі), забив 7 голів.

Після успішного сезону в оренді повернувся в «Динамо» та розпочав сезон 2023/24 вже у першій команді. Дебютний матч за основу провів 30 липня 2023 року в матчі «Динамо» - «Минай» (4:1), замінивши Сергія Сидорчука на 82-й хвилині. Свій перший гол за «Динамо» забив 23 вересня 2023 року, у поєдинку 8-го туру Прем’єр-Ліги проти ЛНЗ у Черкасах, відкривши рахунок у грі ударом з 32-х метрів на 3-й хвилині. Матч завершився перемогою киян з рахунком 4:2.

Протягом двох сезонів Володимир є стабільним гравцем основного складу «Динамо», враховуючи нюанси конкуренції та ротації в «біло-синіх». Граючи на відповідальній позиції в центрі поля, хавбек і атаки суперників вправно спиняє, й сам регулярно забиває - у його доробку вже 11 м'ячів за киян у всіх турнірах. Прогрес Бражка помітив і тренерський штаб національної збірної України, в якій динамівець дебютував 21 березня 2024 року в півфінальному плей-оф кваліфікації відбору Євро-2024 проти Боснії і Герцеговини (2:1). Наразі у його активі 9 матчів за національну збірну.

Також за підсумками 2024 року вболівальники визнали Володимира Бражка найкращим гравцем «Динамо», а в лютому 2025-го футболіст підписав новий контракт із «біло-синіми», відповідно до якого залишатиметься динамівцем до кінця червня 2029 року.