Народився у маленькому містечку Руставі неподалік від Тбілісі. Почав займатися футболом у 7-річному віці, а вже у 9 років потрапив до Академії «Динамо» (Тбілісі), де опановував ази футболу до повноліття. Також виступав за другу команду клубу (28 матчів, 9 голів).

Першим тренером Александре був Давіт Кокіашвілі, товариш батька майбутнього динамівця. А в «Динамо» (Тбілісі) першим тренером Пеікрішвілі став Гіоргі Шашіашвілі.

Чемпіон Грузії у чемпіонатах країни вікової категорії U17, U19, капітан юнацької збірної Грузії U18. Переможець Кубка пам'яті Віталія Дараселії, також у 2023-му посів друге місце в опитуванні в номінації "Найкращий молодий гравець Грузії".

Примітно, що в 12-річному віці Александре грав проти київського "Динамо" у фіналі Ateitis Cup, що проходив у Литві,- тоді юні динамівці з Тбілісі поступилися у вирішальному матчі киянам.

Також у 2023 році Пеікрішвілі потрапив до списку із 60 футболістів - найкращих талантів по всьому світу, що був опублікований в авторитетному британському виданні The Guardian.

У складі "Динамо" U19 дебютував 3 серпня 2024 року в поєдинку юнацької першості проти "Олександрії" (2:0), відзначившись відразу забитим м'ячем.